RODRÍGUEZ SANJURJO, JOSÉ M. / RUIZ, JESÚS M.
Si, por una parte, las raíces geométricas del Cálculo Infinitesimal son evidentes, por otra, la influencia del Cálculo en la Geometría ha sido muy importante. El descubrimiento del Cálculo Infinitesimal en el siglo XVII abrió la vía para que los matemáticos comenzaran a aplicar las nuevas ideas al estudio de las curvas. Por ejemplo, Clairaut estudió hacia 1730 diversas propiedades geométricas utilizando derivadas, en particular las derivadas de funciones que definen parametrizaciones de curvas. Con los nuevos métodos, nociones fundamentales, como la de curvatura, encuentran su tratamiento apropiado. Asimismo, el uso del Cálculo Integral hizo posible dar solución a problemas propuestos desde la antigüedad, como el cálculo de las longitudes de las curvas. El presente volumen, dedicado íntegramente a la teoría de curvas diferenciables, es el primero de un curso de Geometría Diferencial en dos volúmenes, estando el segundo dedicado a las superficies. Hemos considerado que el estudio de las curvas por su propio interés (y no solamente como paso previo al estudio de las superficies) justifica la existencia de este volumen separado. Como es lógico, el libro gravita en gran medida en torno a las ideas básicas de curvatura y torsión y parte de su contenido corresponde a la teoría local de curvas, que estudia la vecindad de uno de sus puntos. Pero una curva es también un objeto global, cuyo comportamiento como tal no puede describirse sólo con el estudio local hasta aquí mencionado. Algunas de las propiedades globales de las curvas tienen un gran contenido intuitivo y se refieren a aspectos fácilmente visualizables, y sin embargo la demostración rigurosa de las mismas puede ser de una notable dificultad. Un ejemplo es el teorema de las tangentes de Hopf, al que dedicamos una lección. También hemos incluido una clasificación de las curvas diferenciables, que nos proporciona un modelo salvo difeomorfismos de las curvas sumergidas. Este libro tiene dos partes bien definidas, según lo que acabamos de explicar. Una dedicada a la teoría local y otra que presenta algunos aspectos globales.
